Вопрос школьника
Докажите, что у равнобедренного треугольника высота а, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть h — высота, опущенная на основание BC, и M — точка пересечения высоты с основанием.
Для начала докажем, что AM является медианой. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, AM соединяет вершину A с серединой BC, то есть точкой M. Нам нужно доказать, что AM делит BC пополам.
Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный, так как AM — высота, а AB и BM — катеты. Из этого следует, что AM является медианой, так как медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы. Таким образом, мы доказали, что высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является медианой.
Теперь докажем, что AM является биссектрисой. Биссектриса — это отрезок, который делит угол на две равные части. В данном случае, нам нужно доказать, что AM делит угол BAC на две равные части.
Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM является прямым, так как AM — высота, а BM — катет. Угол ABM является равным углу ACB, так как треугольник ABC равнобедренный. Таким образом, мы получаем два равных угла: угол BAM и угол ABM. Из этого следует, что AM является биссектрисой угла BAC.
Таким образом, мы доказали, что высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является медианой и биссектрисой.
