Вопрос школьника
Докажите, что угол φ между прямыми, содержащими векторы а^ и b^ , определяется из уравнения: |a^b^| = | а^ |•| b^ |•cosφ
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение скалярного произведения двух векторов:
a • b = |a|•|b|•cosφ,
где |a| и |b| — длины векторов a и b соответственно, а φ — угол между ними.
Теперь, если мы заменим в этом уравнении вектор b на вектор b^, а вектор a на вектор a^, то получим:
a^ • b^ = |a^|•|b^|•cosφ.
Здесь a^ • b^ — скалярное произведение векторов a^ и b^, |a^| и |b^| — длины этих векторов, а φ — угол между ними.
Так как a^ и b^ — направляющие векторы прямых, то их векторное произведение будет коллинеарно этим прямым. То есть, если мы возьмем модуль векторного произведения a^ и b^, то получим длину отрезка, проведенного перпендикулярно к этим прямым. Таким образом, мы можем записать:
|a^ x b^| = |a^|•|b^|•sinφ,
где |a^ x b^| — длина векторного произведения a^ и b^, а sinφ — синус угла между этими векторами.
Теперь, если мы подставим это выражение в предыдущее уравнение, то получим:
|a^|•|b^|•cosφ = |a^ x b^| = |a^|•|b^|•sinφ,
откуда следует, что:
cosφ = sinφ,
то есть:
φ = 45°.
Таким образом, угол между прямыми, содержащими векторы a^ и b^, определяется из уравнения:
|a^ x b^| = |a^|•|b^|•sinφ = |a^|•|b^|•cosφ,
где φ = 45°.
