Вопрос школьника
Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведенная из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны
Ответ от учителя
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:
В любом треугольнике со сторонами a, b, c и углом α, противолежащим стороне c, справедлива формула:
c² = a² + b² — 2ab cos α
где cos α — косинус угла α.
Рассмотрим треугольник ABC, в котором медиана AM проведена из вершины A к противоположной стороне BC. Пусть угол BAC является искомым углом.
По условию задачи, длина медианы AM соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны BC. Обозначим эту длину через m.
Так как медиана AM делит сторону BC пополам, то BM = MC = c/2, где c — длина стороны BC.
Тогда применим теорему косинусов к треугольнику ABM:
AM² = AB² + BM² — 2AB·BM cos ∠BAM
Заменим BM на c/2 и выразим cos ∠BAM:
cos ∠BAM = (AB² + c²/4 — AM²) / AB·c
Аналогично, применим теорему косинусов к треугольнику ACM:
AM² = AC² + MC² — 2AC·MC cos ∠CAM
Заменим MC на c/2 и выразим cos ∠CAM:
cos ∠CAM = (AC² + c²/4 — AM²) / AC·c
Так как угол BAC является суммой углов ∠BAM и ∠CAM, то:
cos BAC = cos(∠BAM + ∠CAM) = cos ∠BAM cos ∠CAM — sin ∠BAM sin ∠CAM
Подставим выражения для cos ∠BAM и cos ∠CAM и упростим:
cos BAC = [(AB² + c²/4 — AM²) / AB·c]·[(AC² + c²/4 — AM²) / AC·c] — sin ∠BAM sin ∠CAM
cos BAC = [(AB² + c²/4 — AM²)(AC² + c²/4 — AM²) — AB²·AC²] / (2AB·AC·c²) — sin ∠BAM sin ∠CAM
cos BAC = [(AB² + AC²)²/4 — AM²(AB² + AC² + c²) + c²·(AB² + AC²)/4 — AB²·AC²] / (2AB·AC·c²) — sin ∠BAM sin ∠CAM
cos BAC = [(AB² + AC²)² — 4AM²(AB² + AC² + c²) + c²(AB² + AC² — 4BC²)] / (8AB·AC·m²) — sin ∠BAM sin ∠CAM
Теперь рассмотрим три случая:
1. Медиана AM больше половины стороны BC (m > c/2). В этом случае AM² > AB² + AC²/4, так как AM является гипотенузой прямоугольного треугольника ABM с катетами AB и BM, а также гипотенузой прямоугольного треугольника ACM с катетами AC и MC. Тогда:
cos BAC = [(AB² + AC²)² — 4AM²(AB² + AC² + c²) + c²(AB² + AC² — 4BC²)] / (8AB·AC·m²) — sin ∠BAM sin ∠CAM
cos BAC < 0, так как первое слагаемое в знаменателе положительно, а числитель отрицательный. Значит, угол BAC является тупым. 2. Медиана AM равна половине стороны BC (m = c/2). В этом случае AM² = AB² + AC²/4, так как AM является высотой равнобедренного треугольника ABC с основанием BC. Тогда: cos BAC = [(AB² + AC²)² - 4AM²(AB² + AC² + c²) + c²(AB² + AC² - 4BC²)] / (8AB·AC·m²) - sin ∠BAM sin ∠CAM cos BAC = (AB² + AC² - 2BC²) / (4AB·AC) - sin ∠BAM sin ∠CAM cos BAC > 0, так как первое слагаемое в числителе положительно, а знаменатель положителен. Значит, угол BAC является острым.
3. Медиана AM меньше половины стороны BC (m < c/2). В этом случае AM² < AB² + AC²/4, так как AM является меньшей стороной прямоугольного треугольника ABM или ACM. Тогда: cos BAC = [(AB² + AC²)² - 4AM²(AB² + AC² + c²) + c²(AB² + AC² - 4BC²)] / (8AB·AC·m²) - sin ∠BAM sin ∠CAM cos BAC > 0, так как первое слагаемое в числителе положительно, а знаменатель положителен. Значит, угол BAC является острым.
Таким образом, мы доказали, что угол треугольника является тупым, прямым или острым в зависимости от того, больше, равна или меньше половины противоположной стороны медиана, проведенная из вершины этого угла.
