Вопрос школьника
Докажите, что в четырехугольнике, отличном от параллелограмма, три отрезка, два из которых соединяют середины противоположных сторон, а третий – середины диагоналей, имеют общую середину.
Ответ от учителя
Рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD, который не является параллелограммом. Обозначим точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно, а точку P — середину диагонали AC.
Проведем отрезки MP и NP. Так как P — середина диагонали AC, то MP и NP являются медианами треугольника ABC. Следовательно, точка Q — точка их пересечения, является центром тяжести треугольника ABC.
Также заметим, что отрезки MN и BD являются медианами треугольника BCD. Следовательно, точка R — точка их пересечения, является центром тяжести треугольника BCD.
Таким образом, мы получили две точки Q и R, которые являются центрами тяжести двух треугольников ABC и BCD соответственно.
Осталось доказать, что точки Q и R совпадают. Для этого заметим, что треугольники ABC и BCD имеют общую высоту, опущенную на сторону BD. Следовательно, площади этих треугольников пропорциональны и соотношение площадей можно записать следующим образом:
S(ABC) : S(BCD) = BD : AC
Так как точка P является серединой диагонали AC, то BD = 2AP. Подставляя это в выражение для соотношения площадей, получаем:
S(ABC) : S(BCD) = 2AP : AC
Но точка Q — центр тяжести треугольника ABC, а точка R — центр тяжести треугольника BCD. Следовательно, отношение площадей треугольников равно отношению расстояний от точки Q до стороны CD и от точки R до стороны CD. То есть:
S(ABC) : S(BCD) = QR : RP
Следовательно, 2AP : AC = QR : RP. Но точка P — середина отрезка AC, а точка Q — точка пересечения медиан треугольника ABC. Следовательно, отрезок PQ делит медиану BM в отношении 2:1. Аналогично, отрезок PR делит медиану DN в отношении 2:1.
Таким образом, мы получили систему уравнений:
2AP : AC = QR : RP
PQ : QB = 2 : 1
PR : RD = 2 : 1
Решая эту систему, получаем, что QR = RP. То есть точки Q и R совпадают.
Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике ABCD, отличном от параллелограмма, три отрезка, два из которых соединяют середины противоположных сторон, а третий – середины диагоналей, имеют общую середину.
