Вопрос школьника
Докажите, что в конус можно вписать сферу. Это означает, что найдётся сфера, которая лежит в конусе, касается основания, а с боковой поверхностью конуса имеет общую окружность. Конус в этом случае называется описанным около сферы, а сфера — вписанной в конус.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что в конус можно вписать сферу, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть у нас есть конус с вершиной V и основанием, которое является кругом с центром O и радиусом R. Также пусть у нас есть сфера с центром в точке C и радиусом r, которая должна быть вписана в этот конус.
Для начала заметим, что если мы проведем плоскость, проходящую через центр сферы C и вершину конуса V, то эта плоскость разделит конус на две части: верхнюю и нижнюю. При этом, если мы рассмотрим проекцию сферы на эту плоскость, то получим круг с центром в точке P, которая является проекцией точки C на эту плоскость.
Теперь заметим, что если мы проведем касательную к сфере в точке P, то эта касательная будет лежать в плоскости, проходящей через точки C, P и O. При этом, так как сфера касается основания конуса, то эта касательная будет касаться и основания конуса в точке Q.
Таким образом, мы получили, что касательная к сфере в точке P касается и основания конуса в точке Q. При этом, так как касательная к сфере является перпендикуляром к радиусу, проведенному из центра сферы к точке касания, то точки Q и P лежат на одной прямой, проходящей через центр сферы C.
Таким образом, мы получили, что сфера с центром в точке C и радиусом r касается основания конуса в точке Q и имеет общую окружность с боковой поверхностью конуса. При этом, так как точки Q и P лежат на одной прямой, проходящей через центр сферы C, то радиус сферы r должен быть меньше радиуса окружности, описанной вокруг основания конуса, то есть r < R. Таким образом, мы доказали, что в конус можно вписать сферу, которая касается основания и имеет общую окружность с боковой поверхностью конуса. При этом, так как радиус сферы должен быть меньше радиуса окружности, описанной вокруг основания конуса, то конус называется описанным около сферы, а сфера — вписанной в конус.
