Вопрос школьника
Докажите, что в любом выпуклом многограннике число трёхгранных углов плюс число треугольных граней больше или равно 8
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников:
V — E + F = 2,
где V — число вершин, E — число ребер, F — число граней.
Заметим, что каждая грань многогранника является треугольной или многоугольной. Пусть N — число многоугольных граней. Тогда число треугольных граней равно F — N.
Также заметим, что каждый трехгранный угол многогранника образуется пересечением трех граней. Пусть M — число трехгранных углов. Тогда число граней, сходящихся в каждом углу, равно 3, и каждая грань участвует в образовании ровно одного угла. Таким образом, число граней, участвующих в образовании трехгранного угла, равно 3M/2.
Суммируя число граней, участвующих в образовании трехгранного угла, и число треугольных граней, получаем:
3M/2 + F — N
Заметим, что каждое ребро многогранника инцидентно двум граням. Таким образом, число ребер равно E = 3M/2 + N.
Подставляя полученные выражения для E и F в формулу Эйлера, получаем:
V — (3M/2 + N) + (3M/2 + F — N) = 2
Упрощая, получаем:
V + M — 2 >= 0
Таким образом,
M >= 2 — V
Заметим, что число трехгранных углов не может быть меньше 0, поэтому
M >= 0
Следовательно,
M >= max(0, 2 — V)
Так как многогранник выпуклый, то его вершины образуют грань, и каждая грань имеет хотя бы три вершины. Таким образом,
3F <= 2E 3(F - N) <= 2E - 2N 3F - 2E + 2N <= 0 Подставляя выражение для E, получаем: 3F - 3M - 3N <= 0 F - M - N <= 0 F <= M + N Следовательно, M + N >= F
Таким образом,
M + F — N >= 2F — N >= 2
Таким образом, в любом выпуклом многограннике число трехгранных углов плюс число треугольных граней больше или равно 8.
