Вопрос школьника
Докажите, что в любом выпуклом многограннике есть треугольная грань или в какой-нибудь его вершине сходится три ребра.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.
Базовый случай: рассмотрим выпуклый многогранник, у которого число граней равно 4. Такой многогранник может быть только тетраэдром, у которого каждая грань является треугольником.
Шаг индукции: предположим, что утверждение верно для всех выпуклых многогранников с числом граней меньше чем n. Докажем, что оно верно и для многогранника с n гранями.
Рассмотрим произвольный выпуклый многогранник с n гранями. Выберем произвольную грань G этого многогранника. Если грань G является треугольником, то утверждение доказано.
Если грань G не является треугольником, то в ней есть хотя бы одна вершина, из которой выходит более двух ребер. Выберем такую вершину V и рассмотрим все ребра, исходящие из нее. Если среди этих ребер есть тройка, которая образует треугольник, то утверждение доказано.
Если такой тройки нет, то рассмотрим множество всех вершин, соединенных с вершиной V ребрами. Это множество образует некоторый многогранник, который имеет меньше граней, чем исходный многогранник. По предположению индукции в этом многограннике есть треугольная грань или вершина, из которой выходит три ребра. Если эта вершина не совпадает с вершиной V, то утверждение доказано. Если же эта вершина совпадает с вершиной V, то мы можем выбрать любое из трех ребер, исходящих из нее, и получить тройку, образующую треугольник. Таким образом, утверждение доказано.
Таким образом, мы доказали, что в любом выпуклом многограннике есть треугольная грань или в какой-нибудь его вершине сходится три ребра.
