Вопрос школьника
Докажите, что в любом выпуклом n-угольнике при n ≥ 5: а) найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180º; б) найдется не более трех нетупых углов.
Ответ от учителя
а) Предположим, что в выпуклом n-угольнике при n ≥ 5 нет двух соседних углов, сумма которых больше 180º. Тогда каждая пара соседних углов будет иметь сумму не более 180º. Рассмотрим сумму всех углов в n-угольнике. Она равна (n-2) × 180º, так как сумма углов в треугольнике равна 180º, и в n-угольнике n-2 треугольника. С другой стороны, каждая пара соседних углов в сумме даёт не более 180º, поэтому сумма всех углов в n-угольнике не превышает 180º × n. Таким образом, получаем неравенство (n-2) × 180º ≤ 180º × n, которое эквивалентно n ≤ 2. Это противоречит условию n ≥ 5, следовательно, в любом выпуклом n-угольнике при n ≥ 5 найдутся два соседних угла, сумма которых больше 180º.
б) Рассмотрим выпуклый n-угольник при n ≥ 5. Предположим, что в нём есть более трёх нетупых углов. Тогда сумма всех углов в n-угольнике будет больше 360º, так как каждый нетупой угол имеет меру больше 90º. С другой стороны, сумма всех углов в n-угольнике равна (n-2) × 180º, так как сумма углов в треугольнике равна 180º, и в n-угольнике n-2 треугольника. Получаем неравенство (n-2) × 180º > 360º, которое эквивалентно n > 4. Это противоречит условию n ≥ 5, следовательно, в любом выпуклом n-угольнике при n ≥ 5 найдется не более трех нетупых углов.
