Вопрос школьника
Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из этой же вершины
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим неравнобедренный треугольник ABC, где AB ≠ AC. Пусть BD — биссектриса угла BAC, AM — медиана, проведенная из вершины A, и AH — высота, опущенная на сторону BC.
Так как BD — биссектриса угла BAC, то угол ABD = угол CBD = α (по определению биссектрисы). Также, угол BAC = 2α (по определению биссектрисы).
Рассмотрим треугольник ABD. В нем угол ABD = угол CBD = α, а угол BAD = 180° — угол BAC = 180° — 2α. Таким образом, угол ADB = 180° — угол ABD — угол BAD = α.
Рассмотрим треугольник ABC. В нем угол BAC = 2α, а угол ABC = 180° — угол BAC = 180° — 2α. Таким образом, угол BCA = (180° — угол ABC)/2 = α.
Теперь рассмотрим треугольник AMH. В нем угол AMH = 90° (по определению высоты), а угол A = угол HAM (по определению медианы). Таким образом, угол HMA = 90° — угол A.
Так как угол ADB = угол BCA = α, то треугольники ABD и ABC подобны. Также, угол HMA = 90° — угол A = угол ADB. Таким образом, треугольники ABD и AMH подобны.
Из подобия треугольников ABD и AMH следует, что соотношение длин отрезков BD и DM равно соотношению длин отрезков AB и AM:
BD/DM = AB/AM
Также, из подобия треугольников ABD и ABC следует, что соотношение длин отрезков BD и DC равно соотношению длин отрезков AB и AC:
BD/DC = AB/AC
Так как AB ≠ AC, то BD ≠ DC. Таким образом, из соотношений BD/DM = AB/AM и BD/DC = AB/AC следует, что DM < DC. Таким образом, основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из этой же вершины.
