Вопрос школьника
Докажите, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.
Ответ от учителя
Пусть у нас есть два подобных треугольника ABC и A’B’C’, где углы A и A’ соответственно равны, углы B и B’ равны, а углы C и C’ равны. Также пусть BD и B’D’ — биссектрисы углов B и B’ соответственно.
Так как треугольники подобны, то соответственные стороны пропорциональны. То есть:
AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’
Также из свойств биссектрисы известно, что:
BD/DC = BB’/B’C’
и
B’D’/D’C’ = BB’/BC
Теперь мы можем выразить BD и B’D’ через соответственные стороны треугольников:
BD = BC * BB’ / B’C’
B’D’ = BB’ * AC / A’C’
Таким образом, мы можем выразить отношение BD к B’D’:
BD/B’D’ = (BC * BB’ / B’C’) / (BB’ * AC / A’C’) = AC/BC
Таким образом, мы доказали, что в подобных треугольниках биссектрисы, проведенные из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.
