Вопрос школьника
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам
Ответ от учителя
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC — катеты, а AC — гипотенуза. Пусть H — основание высоты, проведенной из вершины C, а M — середина стороны AB.
Требуется доказать, что биссектриса угла C делит угол между высотой CH и медианой AM пополам.
Для начала заметим, что угол C равен 90 градусам, так как треугольник ABC прямоугольный. Также заметим, что угол ACH равен углу ACM, так как треугольник ACH и треугольник ACM равнобедренные (AH = AM, CH = CM).
Пусть биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Тогда угол ACD равен углу BCD, так как CD — биссектриса угла C. Также заметим, что угол ACH равен углу DCH, так как треугольник ACH и треугольник CDH подобны (по двум углам).
Теперь рассмотрим треугольник CHD. В нем угол DCH равен углу ACH, а угол CDH равен углу ACM. Таким образом, треугольник CHD подобен треугольнику ACH.
Из подобия треугольников CHD и ACH следует, что отношение CH к AC равно отношению HD к AH. То есть:
CH/AC = HD/AH
Но также заметим, что треугольник ADM подобен треугольнику ABC, так как угол ADM равен углу ABC (как вертикальные углы), а угол MAD равен углу MCB (как углы, смежные с углом ABC). Таким образом, отношение AM к AB равно отношению DM к CB. То есть:
AM/AB = DM/CB
Но AB = AC*cos(C), а CB = AC*sin(C), так как AC — гипотенуза, а C — угол между гипотенузой и катетом. Таким образом:
AB/AC = cos(C)
CB/AC = sin(C)
Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
AM/AC*cos(C) = DM/AC*sin(C)
Упрощая, получаем:
AM/DM = sin(C)/cos(C) = tan(C)
Но угол ACD равен углу HCB, так как CD — биссектриса угла C. Таким образом, угол ACD равен углу C — углу HCB. Но угол HCB равен углу ACB, так как треугольник CHB равнобедренный (CH = CB). Таким образом, угол ACD равен углу C — углу ACB.
Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
AM/DM = tan(C) = tan(C — ACB + ACB)
Раскрывая тангенс суммы углов, получаем:
AM/DM = (tan(C) + tan(ACB))/(1 — tan(C)*tan(ACB))
Но так как угол ACB равен углу BAC (как углы, смежные с углом C), то tan(ACB) = tan(BAC). Таким образом:
AM/DM = (tan(C) + tan(BAC))/(1 — tan(C)*tan(BAC))
Но tan(C) = CH/AC, а tan(BAC) = AM/AC. Таким образом:
AM/DM = (CH/AC + AM/AC)/(1 — CH/AC*AM/AC)
Упрощая, получаем:
AM/DM = 1
То есть медиана AM делит отрезок CD пополам. Но также заметим, что треугольник CHD подобен треугольнику ACH. Таким образом, отрезок HD также делится медианой AM пополам.
Таким образом, биссектриса угла C действительно делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.
