Вопрос школьника
Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме катетов.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определения диаметра вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике.
Диаметр вписанной окружности — это отрезок, соединяющий точку касания окружности с стороной треугольника и проходящий через центр вписанной окружности. Обозначим этот диаметр как d1.
Диаметр описанной окружности — это отрезок, соединяющий две точки пересечения окружности с прямой, содержащей гипотенузу треугольника. Обозначим этот диаметр как d2.
Также, обозначим катеты треугольника как a и b, а гипотенузу как c.
Теперь, рассмотрим свойства вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике.
Свойства вписанной окружности:
1. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, прилегающего к стороне, к которой она касается.
2. Радиус вписанной окружности равен половине периметра треугольника, деленного на полусумму катетов.
Свойства описанной окружности:
1. Центр описанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов, прилегающих к катетам.
2. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
Теперь, используя эти свойства, мы можем доказать, что сумма диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме катетов.
Из свойства 2 вписанной окружности мы знаем, что:
d1 = 2r1 = 2 * (p / (a + b)),
где p — полупериметр треугольника.
Из свойства 2 описанной окружности мы знаем, что:
d2 = 2r2 = 2 * (c / 2) = c.
Таким образом, сумма диаметров вписанной и описанной окружностей равна:
d1 + d2 = 2 * (p / (a + b)) + c.
Из свойства 2 вписанной окружности мы также знаем, что:
p = (a + b + c) / 2.
Подставляя это выражение в формулу для d1 + d2, получаем:
d1 + d2 = 2 * ((a + b + c) / (2 * (a + b))) + c.
Упрощая это выражение, получаем:
d1 + d2 = (a + b + c) / (a + b) + c / 2.
Теперь, заметим, что:
(a + b + c) / (a + b) + c / 2 = (a + b + c + c) / (a + b) = (a + b + c) / (a + b).
Из свойства 2 описанной окружности мы также знаем, что:
c = sqrt(a^2 + b^2).
Подставляя это выражение в последнее выражение, получаем:
d1 + d2 = (a + b + sqrt(a^2 + b^2)) / (a + b).
Упрощая это выражение, получаем:
d1 + d2 = a / (a + b) + b / (a + b) + sqrt(a^2 + b^2) / (a + b).
Заметим, что первые два слагаемых в этом выражении равны сумме катетов:
a / (a + b) + b / (a + b) = (a + b) / (a + b) = 1.
Таким образом, мы получаем:
d1 + d2 = a + b + sqrt(a^2 + b^2) / (a + b) = a + b + c.
Из этого выражения следует, что сумма диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме катетов, что и требовалось доказать.
