Вопрос школьника
Докажите, что в равнобедренном треугольнике: а) три медианы пересекаются в одной точке; б) три биссектрисы пересекаются в одной точке; в) три высоты пересекаются в одной точке (возможно для этого их придётся продолжить за основание высоты).
Ответ от учителя
а) Для доказательства того, что три медианы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, рассмотрим следующую ситуацию:
Пусть ABC — равнобедренный треугольник, в котором AB = AC. Проведем медианы AM, BN и CK, где M, N и K — середины сторон BC, AC и AB соответственно.
Так как AB = AC, то BM = MC и AK = KB. Рассмотрим треугольник AMB. В нем AM — медиана, а BK — медиана и биссектриса. По свойству медианы, она делит сторону на две равные части, то есть BM = MC. По свойству биссектрисы, она делит угол на две равные части, то есть угол AMB = угол CMB. Таким образом, треугольники AMB и CMB равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, они равны в целом. Аналогично можно доказать, что треугольники ANB и ACB равны, а также треугольники AKC и ABC равны.
Из равенства треугольников следует, что углы AMB, ANB и AKC равны между собой, то есть они лежат на одной прямой. Следовательно, точки пересечения медиан AM, BN и CK лежат на одной прямой, то есть пересекаются в одной точке.
б) Для доказательства того, что три биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, рассмотрим следующую ситуацию:
Пусть ABC — равнобедренный треугольник, в котором AB = AC. Проведем биссектрисы углов BAC, ABC и ACB, которые пересекаются в точке I.
Рассмотрим треугольник ABI. В нем AI — биссектриса, а BI — медиана и биссектриса. По свойству биссектрисы, она делит угол на две равные части, то есть угол BAI = угол IAC. По свойству медианы, она делит сторону на две равные части, то есть BI = IC. Таким образом, треугольники ABI и ACI равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, они равны в целом. Аналогично можно доказать, что треугольники BCI и ABI равны, а также треугольники BAI и BCI равны.
Из равенства треугольников следует, что углы BAI, ABI и BCI равны между собой, то есть они лежат на одной прямой. Следовательно, точки пересечения биссектрис углов BAC, ABC и ACB лежат на одной прямой, то есть пересекаются в одной точке.
в) Для доказательства того, что три высоты равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, рассмотрим следующую ситуацию:
Пусть ABC — равнобедренный треугольник, в котором AB = AC. Проведем высоты AD, BE и CF, которые пересекаются в точке H.
Рассмотрим треугольник AHB. В нем AH — высота, а BH — медиана и биссектриса. По свойству медианы, она делит сторону на две равные части, то есть AB = 2BH. По свойству биссектрисы, она делит угол на две равные части, то есть угол BAH = угол HAC. Таким образом, треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, они равны в целом. Аналогично можно доказать, что треугольники BHC и BHA равны, а также треугольники CHA и CHB равны.
Из равенства треугольников следует, что углы AHB, BHC и CHA равны между собой, то есть они лежат на одной прямой. Следовательно, точки пересечения высот AD, BE и CF лежат на одной прямой, то есть пересекаются в одной точке.
