Вопрос школьника
Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от прямых, содержащих боковые стороны треугольника.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть M — середина основания BC. Требуется доказать, что точка M равноудалена от прямых, содержащих боковые стороны треугольника.
Для начала заметим, что прямые, содержащие боковые стороны треугольника, являются высотами этого треугольника. Действительно, высота, опущенная из вершины треугольника, перпендикулярна к основанию и проходит через его середину. Таким образом, прямые, содержащие боковые стороны треугольника, пересекаются в точке, которая является серединой основания.
Далее, заметим, что треугольник AMB и треугольник AMC являются равнобедренными, так как AM является медианой треугольника ABC и делит его на два равнобедренных треугольника. Следовательно, углы AMB и AMC равны между собой.
Таким образом, мы получили, что точка M лежит на биссектрисе угла BAC. А так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса угла BAC является высотой и медианой этого треугольника. Следовательно, точка M лежит на высоте и медиане треугольника ABC, что означает, что она равноудалена от прямых, содержащих боковые стороны треугольника.
