Вопрос школьника
Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины
Ответ от учителя
Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, в котором точка D — точка пересечения двух биссектрис углов A и C.
Проведем из точки D перпендикуляры на стороны AB и BC, обозначим точки пересечения как E и F соответственно.
Так как треугольник ABC равносторонний, то углы при вершинах равны 60 градусов. Значит, углы ADE и CDF также равны 60 градусов.
Таким образом, треугольники ADE и CDF являются равнобедренными, а значит, высоты AE и CF являются медианами этих треугольников.
По свойству медианы в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная к основанию, делит его на две равные части. Значит, DE = EA и DF = FC.
Также заметим, что треугольники ADE и CDF подобны треугольнику ABC, так как углы ADE и CDF равны соответственно углам BAC и BCA.
Значит, соотношение сторон в этих треугольниках равно соотношению сторон в треугольнике ABC:
AD : DE : EA = AB : BC : AC
CD : DF : FC = AB : BC : AC
Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = AC. Значит, AD = CD.
Подставим это в соотношения сторон:
AD : DE : EA = AB : BC : AC
AD : DF : FC = AB : BC : AC
AD : DE : EA = AD : DF : FC
DE : EA = DF : FC
DE : (DE + EA) = DF : (DF + FC)
DE : (DE + DE) = DF : (DF + DF)
DE = DF/2
Таким образом, расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.
