Вопрос школьника
Докажите, что верна теорема, обратная к теореме Пифагора: «Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то он прямоугольный».
Ответ от учителя
Для доказательства обратной теоремы Пифагора, необходимо предположить, что в треугольнике ABC квадрат стороны AB равен сумме квадратов сторон AC и BC. То есть, AB² = AC² + BC².
Далее, необходимо доказать, что треугольник ABC является прямоугольным.
Для этого, можно использовать теорему косинусов, которая гласит:
c² = a² + b² — 2ab cos(C)
где c — сторона треугольника, противолежащая углу С, a и b — остальные две стороны.
Применяя теорему косинусов к треугольнику ABC, получим:
AB² = AC² + BC² — 2AC·BC cos(С)
Заметим, что согласно предположению, AB² = AC² + BC². Подставляя это равенство в уравнение выше, получим:
AB² = AB² — 2AC·BC cos(С)
2AC·BC cos(С) = 0
cos(С) = 0
Так как cos(С) = 0, то угол С равен 90 градусов, что означает, что треугольник ABC является прямоугольным.
Таким образом, мы доказали, что если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то он прямоугольный.
