Вопрос школьника
a) Докажите, что вокруг правильной n-угольной пирамиды можно описать сферу (для n = 3 и n = 4).
б) Докажите, что в правильную n-угольную пирамиду можно вписать сферу (для n = 3 и n = 4).
Ответ от учителя
a) Для доказательства того, что вокруг правильной n-угольной пирамиды можно описать сферу, рассмотрим ее вершину и все ее боковые грани. Все эти грани являются равнобедренными треугольниками, а значит, их высоты, опущенные на основание, пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Таким образом, мы получаем n точек на поверхности сферы, которые лежат на одной окружности. Следовательно, вокруг пирамиды можно описать сферу.
Для n = 3 (тетраэдр) это очевидно, так как тетраэдр является описанным телом.
Для n = 4 (куб) можно рассмотреть диагонали граней куба, которые пересекаются в центре куба и образуют ромб. Описанная окружность ромба будет лежать на поверхности сферы, описанной вокруг куба.
б) Для доказательства того, что в правильную n-угольную пирамиду можно вписать сферу, рассмотрим ее высоту, которая является перпендикуляром к основанию и проходит через центр описанной окружности. Радиус вписанной сферы будет равен расстоянию от центра основания до центра описанной окружности, а высота пирамиды будет равна диаметру вписанной сферы.
Для n = 3 (тетраэдр) это очевидно, так как тетраэдр является вписанным телом.
Для n = 4 (куб) можно рассмотреть диагонали граней куба, которые пересекаются в центре куба и образуют ромб. Вписанная сфера будет касаться всех граней куба в их центрах.
