Вопрос школьника
Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться следующими шагами:
1. Пусть дана прямая l и точка P, лежащая вне этой прямой.
2. Рассмотрим две прямые, проходящие через точку P и пересекающие прямую l в точках A и B соответственно.
3. Проведем плоскость, проходящую через точки P, A и B.
4. Докажем, что все прямые, проходящие через точку P и пересекающие прямую l, лежат в этой плоскости.
5. Предположим, что существует прямая m, проходящая через точку P и пересекающая прямую l в точке C, но не лежащая в плоскости PAB.
6. Тогда прямая m должна пересечь плоскость PAB в некоторой точке D.
7. Рассмотрим треугольник PCD, который лежит в плоскости PAB и имеет стороны PC, CD и DP.
8. Так как прямая m не лежит в плоскости PAB, то она не может быть перпендикулярна к стороне CD.
9. Значит, существует точка E на стороне CD, такая что прямая PE перпендикулярна к прямой m.
10. Тогда треугольник PCE имеет две перпендикулярные стороны PE и PC, что противоречит тому, что треугольник может иметь более одной перпендикулярной стороны.
11. Значит, предположение о существовании прямой m, не лежащей в плоскости PAB, неверно.
12. Следовательно, все прямые, проходящие через точку P и пересекающие прямую l, лежат в одной плоскости, проходящей через точки P, A и B.
Таким образом, мы доказали, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
