Вопрос школьника
Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями 180°правильного n-угольника, кратны 180°/n
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим правильный n-угольник, у которого все стороны и радиусы описанных окружностей равны. Такой n-угольник можно разбить на n равных треугольников, каждый из которых имеет угол при вершине, равный 360°/n.
Теперь рассмотрим диагонали правильного n-угольника. Каждая диагональ соединяет две вершины, которые не являются соседними. Таким образом, мы можем соединить каждую вершину с каждой другой, кроме соседних. Всего таких соединений будет n-3.
Каждое из этих соединений образует треугольник с двумя сторонами, являющимися сторонами правильного n-угольника, и диагональю. Таким образом, мы получаем n-3 треугольника, каждый из которых имеет угол при вершине, равный 180° — (360°/n).
Теперь рассмотрим угол, образованный стороной и диагональю правильного n-угольника. Этот угол можно разбить на два угла: угол между стороной и линией, проходящей через центр правильного n-угольника и вершину, и угол между этой линией и диагональю.
Первый угол равен 360°/n, так как линия, проходящая через центр правильного n-угольника и вершину, делит угол при вершине на две равные части.
Второй угол равен углу при вершине треугольника, образованного стороной, диагональю и линией, проходящей через центр правильного n-угольника и вершину. Мы уже выяснили, что этот угол равен 180° — (360°/n).
Таким образом, сумма двух углов, образованных стороной и диагональю правильного n-угольника, равна 360°/n + (180° — 360°/n) = 180°.
Так как мы рассмотрели все возможные углы, образованные сторонами и диагоналями правильного n-угольника, то мы можем заключить, что все эти углы кратны 180°/n.
