Вопрос школьника
Докажите, что высота AM треугольника ABC перпендикулярна его средней линии, соединяющей середины сторон АВ и АС.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством средней линии треугольника, которое гласит: средняя линия параллельна и равна половине третьей стороны треугольника.
Пусть M – середина стороны BC, H – точка пересечения высоты AM и стороны BC.
Так как AM является высотой треугольника ABC, то угол BAM прямой. Значит, треугольник ABM прямоугольный, и по теореме Пифагора:
AB² = AM² + BM²
Также, по свойству средней линии:
BM = MC = ½ BC
Подставим это выражение в предыдущее:
AB² = AM² + ¼ BC²
Выразим из этого уравнения AM²:
AM² = AB² — ¼ BC²
Заметим, что AB² и BC² – это квадраты длин отрезков, а значит, они неотрицательны. Также, по определению высоты, AM перпендикулярна BC. Значит, AM является кратчайшим расстоянием от точки A до прямой BC.
Теперь рассмотрим треугольник AHC. Угол AHC также прямой, так как H – точка пересечения высоты AM и стороны BC. Значит, треугольник AHC также является прямоугольным.
Так как AM является высотой треугольника ABC, то AM перпендикулярна BC. Значит, угол AMH также прямой. Также, по свойству средней линии, AM параллельна и равна половине BC. Значит, угол HMC также прямой.
Таким образом, мы получили, что в треугольнике AHC два угла прямые, а значит, третий угол также прямой. Значит, треугольник AHC также является прямоугольным.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ABM и AHC являются прямоугольными. Значит, у них соответственно прямые углы находятся в точках M и H.
Так как AM и HC являются высотами треугольника ABC, то они перпендикулярны к стороне BC. Значит, угол AMH также прямой.
Таким образом, мы получили, что в треугольнике AHC два угла прямые, а значит, третий угол также прямой. Значит, треугольник AHC также является прямоугольным.
Таким образом, мы доказали, что у треугольников ABM и AHC соответственно прямые углы находятся в точках M и H, а угол AMH также прямой. Значит, эти треугольники подобны.
По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. Значит, AM/MC = AH/HC.
Так как MC = ½ BC, то AM/BC = AH/2HC.
Также, по свойству средней линии, BC = 2BM. Значит, AM/2BM = AH/2HC.
Так как BM = MC, то AM/MC = AH/HC.
Таким образом, мы получили, что AM/MC = AH/HC. Значит, высота AM перпендикулярна средней линии MC, соединяющей середины сторон AB и AC.
Таким образом, мы доказали, что высота AM треугольника ABC перпендикулярна его средней линии, соединяющей середины сторон AB и AC.
