Вопрос школьника
Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Проведем высоту CD из вершины C на гипотенузу AB. Тогда получим два треугольника: ADC и BDC.
Рассмотрим соответствующие углы этих треугольников. Угол ADC прямой, так как это прямоугольный треугольник, а угол BDC также прямой, так как это вертикальный угол. Таким образом, углы ADC и BDC равны.
Теперь рассмотрим соответствующие стороны. Сторона AD соответствует стороне BD, так как это высота, которая делит гипотенузу на две части. Сторона CD общая для обоих треугольников.
Таким образом, мы получили, что углы ADC и BDC равны, а стороны AD и BD пропорциональны. Следовательно, треугольники ADC и BDC подобны.
Также можно заметить, что треугольник ABC и треугольник ADC также подобны, так как угол ADC прямой, а угол ABC также прямой. Сторона AD общая для обоих треугольников, а сторона AC соответствует стороне BC, так как это гипотенуза.
Таким образом, мы доказали, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.