Вопрос школьника
Докажите, используя метод от противного, что если ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведенной из этой же вершины, то треугольник не является равнобедренным
Ответ от учителя
Предположим, что треугольник ABC не является равнобедренным, но ни одна из его высот не совпадает с биссектрисой, проведенной из этой же вершины. Это означает, что все три высоты и все три биссектрисы являются разными отрезками.
Пусть AD, BE и CF — высоты треугольника ABC, а AK, BL и CJ — биссектрисы углов A, B и C соответственно.
Так как треугольник ABC не является равнобедренным, то он имеет три разные стороны и, следовательно, три разных угла. Пусть угол A является наибольшим углом в треугольнике.
Тогда, по определению высоты, угол ADB является прямым углом, а угол ADF является острым углом. Также, по определению биссектрисы, угол BAK равен углу CAK.
Предположим, что высота AD совпадает с биссектрисой AK. Тогда угол BAK равен углу BAD, так как они оба равны половине угла A. Но угол BAK также равен углу CAK, так как AK является биссектрисой угла A. Следовательно, угол BAD равен углу CAK.
Но это противоречит тому, что угол A является наибольшим углом в треугольнике. Если угол BAD равен углу CAK, то угол BAC должен быть равен 2 углам BAD и CAK, что невозможно, так как угол A является наибольшим углом.
Таким образом, наше предположение о том, что высота AD совпадает с биссектрисой AK, неверно. Аналогично можно доказать, что ни одна из высот не совпадает с биссектрисой, проведенной из этой же вершины.
Следовательно, если ни одна из высот треугольника не совпадает с биссектрисой, проведенной из этой же вершины, то треугольник не является равнобедренным.
