Вопрос школьника
Докажите, используя метод от противного, что если стороны АВ и ВС треугольника ABC не равны, то его медиана BD не является его высотой
Ответ от учителя
Предположим, что медиана BD треугольника ABC является его высотой. Тогда, по определению высоты, она должна быть перпендикулярна к стороне AC в точке E.
Также известно, что медиана BD делит сторону AC пополам в точке F.
Предположим, что стороны AB и BC не равны. Тогда, по теореме о неравенстве треугольника, сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей стороны. То есть AB + BC > AC.
Так как медиана BD делит сторону AC пополам, то AF = FC = 1/2 AC.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Он имеет стороны AB, BD и AD. Предположим, что медиана BD является высотой этого треугольника. Тогда, по определению высоты, она должна быть перпендикулярна к стороне AB в точке G.
Также известно, что медиана BD делит сторону AB пополам в точке H.
Теперь рассмотрим треугольник BDC. Он имеет стороны BC, BD и CD. Предположим, что медиана BD является высотой этого треугольника. Тогда, по определению высоты, она должна быть перпендикулярна к стороне BC в точке I.
Также известно, что медиана BD делит сторону BC пополам в точке J.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он имеет стороны AB, BC и AC. Мы предположили, что медиана BD является высотой этого треугольника. Тогда, по определению высоты, она должна быть перпендикулярна к стороне AC в точке E.
Также известно, что медиана BD делит сторону AC пополам в точке F.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы предположили, что медиана BD является высотой этого треугольника. Тогда, по определению высоты, она должна быть перпендикулярна к стороне AB в точке G.
Также известно, что медиана BD делит сторону AB пополам в точке H.
Теперь рассмотрим треугольник BDC. Мы предположили, что медиана BD является высотой этого треугольника. Тогда, по определению высоты, она должна быть перпендикулярна к стороне BC в точке I.
Также известно, что медиана BD делит сторону BC пополам в точке J.
Таким образом, мы получили, что медиана BD является высотой трех разных треугольников: ABC, ABD и BDC.
Но это противоречит тому, что медиана BD может быть высотой только одного треугольника.
Следовательно, наше предположение о том, что медиана BD является высотой треугольника ABC, неверно.
Таким образом, мы доказали, что если стороны AB и BC не равны, то медиана BD не является высотой треугольника ABC.
