Вопрос школьника
Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника
Ответ от учителя
Признак равенства треугольников по медиане и углам утверждает, что если два треугольника имеют равные медианы, проведенные из вершин, образующих одинаковые углы с третьей стороной, то эти треугольники равны.
Для доказательства этого признака рассмотрим два треугольника ABC и A’B’C’, у которых медианы AD и A’D’ равны, а углы BAD и B’A’D’ равны. Нам нужно доказать, что треугольники ABC и A’B’C’ равны.
Рассмотрим угол BAC и его медиану AD. Пусть точка E — середина стороны BC. Тогда медиана AD делит угол BAC на два равных угла: угол BAD и угол CAD. Аналогично, медиана A’D’ делит угол B’A’C’ на два равных угла: угол B’A’D’ и угол C’A’D’.
Так как углы BAD и B’A’D’ равны, то углы CAD и C’A’D’ также равны. Таким образом, углы BAC и B’A’C’ равны.
Рассмотрим теперь стороны AB и A’B’. Пусть точка F — середина стороны A’C’. Тогда медиана AD также является высотой треугольника ABF, а медиана A’D’ — высотой треугольника A’B’F. Так как медианы AD и A’D’ равны, то высоты ABF и A’B’F также равны. Следовательно, стороны AB и A’B’ равны.
Аналогично, рассмотрев стороны AC и A’C’, можно доказать, что они также равны.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ABC и A’B’C’ равны, что и требовалось доказать.
