Вопрос школьника
Докажите равенство двух треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой
Ответ от учителя
Для доказательства равенства двух треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой, мы можем использовать теорему косинусов и свойства медианы.
Пусть у нас есть два треугольника ABC и A’B’C’, где AB = A’B’, медиана AM проведена к стороне BC, медиана A’M’ проведена к стороне B’C’, и угол AMB равен углу A’M’B’.
Тогда мы можем записать теорему косинусов для треугольников ABC и A’B’C’:
cos(∠AMB) = (AB² + BC² — AC²) / (2AB * BC)
cos(∠A’M’B’) = (A’B’² + B’C’² — A’C’²) / (2A’B’ * B’C’)
Так как AB = A’B’ и BC = B’C’, мы можем упростить эти выражения:
cos(∠AMB) = (AB² + BC² — AC²) / (2AB * BC)
cos(∠A’M’B’) = (AB² + BC² — A’C’²) / (2AB * BC)
Теперь мы можем заметить, что выражения в скобках справа от знака равенства одинаковы, так как стороны AB и BC равны в обоих треугольниках. Поэтому мы можем записать:
cos(∠AMB) = cos(∠A’M’B’)
Так как угол AMB равен углу A’M’B’, то мы можем заключить, что ∠AMB = ∠A’M’B’. Теперь мы можем использовать свойство медианы, которое гласит, что медиана делит сторону пополам и образует два равных треугольника. Поэтому мы можем заключить, что треугольники ABC и A’B’C’ равны по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой.
