Вопрос школьника
Докажите равенство треугольников MON и PON, если ∠MON = ∠PON, а луч NO — биссектриса угла MNP. Найдите углы треугольника NOP, если ∠MNO = 28°, ∠NMO = 42°.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства треугольников MON и PON необходимо показать, что их стороны и углы соответственно равны.
Из условия дано, что углы ∠MON и ∠PON равны. Также известно, что луч NO является биссектрисой угла MNP. Это означает, что угол NOP равен углу NOM, а угол NPO равен углу NMO.
Теперь рассмотрим стороны треугольников. Из условия известно, что сторона MO общая для обоих треугольников. Также сторона ON является общей и равной самой себе. Осталось доказать, что сторона MN равна стороне PN.
Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольниках MON и PON:
sin ∠MNO / MO = sin ∠NMO / NO
sin ∠NPO / NO = sin ∠NOP / PN
Заметим, что sin ∠MNO = sin ∠NMO, так как они являются синусами смежных углов. Также sin ∠NPO = sin ∠NOP, так как они являются синусами смежных углов.
Тогда получаем:
sin ∠MNO / MO = sin ∠NPO / NO
sin ∠NMO / NO = sin ∠NOP / PN
Перемножим обе части каждого уравнения:
sin ∠MNO * sin ∠NPO = sin ∠NMO * sin ∠NOP
Так как sin ∠MNO = sin ∠NMO и sin ∠NPO = sin ∠NOP, то получаем:
sin² ∠MNO = sin² ∠NPO
Так как sin² x = 1 — cos² x, то:
1 — cos² ∠MNO = 1 — cos² ∠NPO
cos² ∠MNO = cos² ∠NPO
Так как cos² x = 1 — sin² x, то:
1 — sin² ∠MNO = 1 — sin² ∠NPO
sin² ∠MNO = sin² ∠NPO
Таким образом, получаем, что сторона MN равна стороне PN.
Итак, мы доказали, что треугольники MON и PON равны.
Теперь найдем углы треугольника NOP. Известно, что ∠MNO = 28° и ∠NMO = 42°. Тогда ∠NOM = 180° — ∠MNO — ∠NMO = 110°.
Так как луч NO является биссектрисой угла MNP, то угол NOP равен углу NOM, то есть ∠NOP = ∠NOM = 110°.
Также известно, что угол NPO равен углу NMO, то есть ∠NPO = ∠NMO = 42°.
Итак, углы треугольника NOP равны: ∠NOP = 110°, ∠NPO = 42° и ∠ONP = 28°.
