Вопрос школьника
Докажите с помощью определения, что функция: а) у = 2х2 возрастает на промежутке [0; + ∞); б) у = 2х2 убывает на промежутке (-∞; ∞]; в) у = Зх2 — 6х возрастает на промежутке [1; + ∞); г) у = Зх2 — 6х убывает на промежутке (- ∞; 1].
Ответ от учителя
Определение возрастания функции: функция f(x) называется возрастающей на промежутке [a, b], если для любых двух точек x1 и x2 из этого промежутка, таких что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2). Определение убывания функции: функция f(x) называется убывающей на промежутке [a, b], если для любых двух точек x1 и x2 из этого промежутка, таких что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2).
а) Функция у = 2х2 возрастает на промежутке [0; + ∞).
Для доказательства возрастания функции на данном промежутке необходимо взять произвольные точки x1 и x2 из этого промежутка, такие что x1 < x2, и доказать, что f(x1) < f(x2). Пусть x1 и x2 - произвольные точки из промежутка [0; + ∞), такие что x1 < x2. Тогда: f(x1) = 2x1^2 f(x2) = 2x2^2 Так как x1 < x2, то x1^2 < x2^2. Следовательно, 2x1^2 < 2x2^2, что означает, что f(x1) < f(x2). Таким образом, функция у = 2х2 возрастает на промежутке [0; + ∞). б) Функция у = 2х2 убывает на промежутке (-∞; ∞]. Для доказательства убывания функции на данном промежутке необходимо взять произвольные точки x1 и x2 из этого промежутка, такие что x1 < x2, и доказать, что f(x1) > f(x2).
Пусть x1 и x2 — произвольные точки из промежутка (-∞; ∞], такие что x1 < x2. Тогда: f(x1) = 2x1^2 f(x2) = 2x2^2 Так как x1 < x2, то x1^2 < x2^2. Следовательно, 2x1^2 > 2×2^2, что означает, что f(x1) > f(x2). Таким образом, функция у = 2х2 убывает на промежутке (-∞; ∞].
в) Функция у = Зх2 — 6х возрастает на промежутке [1; + ∞).
Для доказательства возрастания функции на данном промежутке необходимо взять произвольные точки x1 и x2 из этого промежутка, такие что x1 < x2, и доказать, что f(x1) < f(x2). Пусть x1 и x2 - произвольные точки из промежутка [1; + ∞), такие что x1 < x2. Тогда: f(x1) = 3x1^2 - 6x1 f(x2) = 3x2^2 - 6x2 Так как x1 < x2, то x1^2 < x2^2. Следовательно, 3x1^2 < 3x2^2. Кроме того, так как x1 < x2, то -6x1 < -6x2. Следовательно, 3x1^2 - 6x1 < 3x2^2 - 6x2, что означает, что f(x1) < f(x2). Таким образом, функция у = Зх2 - 6х возрастает на промежутке [1; + ∞). г) Функция у = Зх2 - 6х убывает на промежутке (-∞; 1]. Для доказательства убывания функции на данном промежутке необходимо взять произвольные точки x1 и x2 из этого промежутка, такие что x1 < x2, и доказать, что f(x1) > f(x2).
Пусть x1 и x2 — произвольные точки из промежутка (-∞; 1], такие что x1 < x2. Тогда: f(x1) = 3x1^2 - 6x1 f(x2) = 3x2^2 - 6x2 Так как x1 < x2, то x1^2 < x2^2. Следовательно, 3x1^2 > 3×2^2. Кроме того, так как x1 < x2, то -6x1 > -6×2. Следовательно, 3×1^2 — 6×1 > 3×2^2 — 6×2, что означает, что f(x1) > f(x2). Таким образом, функция у = Зх2 — 6х убывает на промежутке (-∞; 1].
