Вопрос школьника
Докажите теорему: если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
Ответ от учителя
Для доказательства данной теоремы воспользуемся методом противоположного утверждения. Предположим, что две прямые не параллельны. Тогда они пересекаются в точке, которую мы обозначим буквой О. Проведем через точку О прямую, параллельную данным прямым, и обозначим ее буквой l. Так как прямые не параллельны, то углы, образованные ими и линией l, не равны. Обозначим эти углы α и β соответственно.
Теперь рассмотрим две секущие, пересекающие данные прямые в точках A, B и C, D соответственно (см. рисунок). По условию задачи углы AOC и BOD равны между собой. Рассмотрим теперь треугольники AOC и BOD. Они имеют две пары равных углов: AOC и BOD, а также углы OAC и OBD, так как прямые l и AB параллельны. Третья пара углов в этих треугольниках также равна, так как они соответственные углы при пересечении параллельных прямых. Следовательно, треугольники AOC и BOD равны между собой по двум углам и стороне между ними (AO = BO), что означает, что углы OAC и OBD также равны между собой.
Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. Они имеют две пары равных углов: AOB и COD, а также углы OAB и OCD, так как прямые l и CD параллельны. Третья пара углов в этих треугольниках также равна, так как они соответственные углы при пересечении параллельных прямых. Следовательно, треугольники AOB и COD равны между собой по двум углам и стороне между ними (AO = CO), что означает, что углы OAB и OCD также равны между собой.
Но тогда получаем, что углы α и β, образованные прямыми и линией l, равны между собой, так как они являются вертикальными углами. Это противоречит нашему предположению о том, что углы α и β не равны. Следовательно, наше предположение о том, что прямые не параллельны, неверно, и прямые действительно параллельны, если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны.
