Вопрос школьника
Докажите теорему и свойствах средней линии треугольника: средняя линия треугольника соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине
Ответ от учителя
Для доказательства данной теоремы рассмотрим треугольник ABC и его среднюю линию DE, соединяющую середины сторон AB и AC.
Проведем через точки D и E прямые, параллельные стороне BC, и обозначим точки их пересечения с стороной BC как F и G соответственно.
Так как DE является средней линией треугольника ABC, то по определению точки D и E являются серединами сторон AB и AC соответственно. Следовательно, отрезки BD и DC, а также AE и EC равны между собой.
Также, по определению параллельных прямых, углы ADE и FDC, а также углы AED и GDB равны между собой.
Из этих равенств следует, что треугольники ADE и FDC, а также треугольники AED и GDB подобны между собой. Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Так как DE является средней линией треугольника ABC, то отрезок DE равен половине стороны BC. Следовательно, отрезки FD и GC также равны половине стороны BC.
Из пропорциональности сторон треугольников ADE и FDC, а также треугольников AED и GDB следует, что отрезки FD и GC равны между собой.
Таким образом, мы доказали, что средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Свойства средней линии треугольника:
1. Средняя линия треугольника делит его на два равных по площади треугольника.
2. Средняя линия треугольника является осью симметрии для него.
3. Сумма длин двух средних линий треугольника равна длине третьей средней линии.
4. Средняя линия треугольника является медианой для треугольника, образованного вершинами треугольника и серединами его сторон.
5. Средняя линия треугольника является высотой для треугольника, образованного вершинами треугольника и серединами противоположных сторон.
