Вопрос школьника
Докажите теорему о свойстве противолежащих сторон параллелограмма: противолежащие стороны параллелограмма равны.
Ответ от учителя
Для доказательства теоремы о свойстве противолежащих сторон параллелограмма необходимо использовать определение параллелограмма и свойства параллельных прямых.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.
Пусть дан параллелограмм ABCD, где AB || CD и AD || BC. Необходимо доказать, что AB = CD и AD = BC.
Рассмотрим треугольники ABD и BCD. Они имеют общую сторону BD и параллельные стороны AB и CD (по определению параллелограмма). Из свойства параллельных прямых следует, что угол ABD = угол BCD (они соответственные). Аналогично, рассмотрев треугольники ABD и ADC, получим, что угол ABD = угол ADC.
Таким образом, угол BCD = угол ADC, так как они равны углам ABD. Значит, треугольники BCD и ADC подобны по признаку угловой сходности. Из подобия следует, что соответствующие стороны пропорциональны:
BC/CD = AD/DC
Но так как AD || BC, то AD = BC. Значит, BC/CD = AD/DC = 1, откуда следует, что BC = CD.
Аналогично, рассмотрев треугольники ABD и ABC, можно доказать, что AB = CD.
Таким образом, мы доказали, что противолежащие стороны параллелограмма равны.
