Вопрос школьника
Докажите теорему о свойстве вертикальных углов: вертикальные углы равны.
На рисунке углы 1 и 2 — вертикальные. Надо доказать, что
Ответ от учителя
они равны.
Для начала, определим, что такое вертикальные углы. В геометрии вертикальными называются углы, которые расположены на противоположных сторонах пересекающихся прямых и имеют общую вершину. В данном случае, углы 1 и 2 расположены на противоположных сторонах пересекающихся прямых AB и CD и имеют общую вершину O.
Для доказательства теоремы о свойстве вертикальных углов, нужно воспользоваться свойством параллельных прямых, которое гласит: если две прямые пересекаются третьей прямой, то сумма смежных углов равна 180 градусов.
Рассмотрим треугольник AOC. Он имеет три угла: угол AOC, угол ACO и угол OCA. Угол AOC равен сумме углов ACO и OCA, то есть:
∠AOC = ∠ACO + ∠OCA
Также рассмотрим треугольник DOB. Он имеет три угла: угол DOB, угол DBO и угол OBD. Угол DOB равен сумме углов DBO и OBD, то есть:
∠DOB = ∠DBO + ∠OBD
Заметим, что угол ACO равен углу DBO, так как они являются вертикальными углами. А угол OCA равен углу OBD, также потому, что они являются вертикальными углами. Таким образом, мы можем записать:
∠ACO = ∠DBO
∠OCA = ∠OBD
Подставим эти равенства в первое уравнение:
∠AOC = ∠ACO + ∠OCA
∠AOC = ∠DBO + ∠OBD
Сложим эти два уравнения:
∠AOC + ∠DOB = (∠ACO + ∠OCA) + (∠DBO + ∠OBD)
Учитывая, что ∠ACO = ∠DBO и ∠OCA = ∠OBD, получим:
∠AOC + ∠DOB = 2∠ACO + 2∠OCA
Также мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов:
∠AOC + ∠ACO + ∠OCA = 180 градусов
Подставим ∠ACO = ∠DBO и ∠OCA = ∠OBD:
∠AOC + ∠DBO + ∠OBD = 180 градусов
Сравнивая это уравнение с предыдущим, получаем:
∠AOC + ∠DOB = ∠AOC + ∠DOB
Таким образом, мы доказали, что вертикальные углы равны. В нашем случае, угол 1 и угол 2 являются вертикальными углами, поэтому они равны.
