Вопрос школьника
Доведіть, що чотирикутник KLMN з вершинами в точках К( 1; -3), Д — 3 ; -2),
М(-2; 2), N(2; 1) є прямокутником
Ответ от учителя
Для того, чтобы доказать, что четырехугольник KLMN является прямоугольником, необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Углы противоположных вершин должны быть прямыми.
2. Противоположные стороны должны быть равными.
Для начала найдем координаты всех сторон четырехугольника KLMN:
— Сторона KL:
xK = 1, yK = -3
xL = -2, yL = 2
— Сторона LM:
xL = -2, yL = 2
xM = 2, yM = 1
— Сторона MN:
xM = 2, yM = 1
xN = 2, yN = 1
— Сторона NK:
xN = 2, yN = 1
xK = 1, yK = -3
Теперь проверим выполнение двух условий:
1. Углы противоположных вершин должны быть прямыми.
Угол KLM:
Угол LMK:
Угол MKN:
Угол NKL:
Все углы равны 90 градусам, следовательно, первое условие выполнено.
2. Противоположные стороны должны быть равными.
Сторона KL:
d(KL) = √[(xL — xK)² + (yL — yK)²] = √[(-2 — 1)² + (2 — (-3))²] = √(3² + 5²) = √34
Сторона MN:
d(MN) = √[(xN — xM)² + (yN — yM)²] = √[(2 — 2)² + (1 — 1)²] = √0 = 0
Сторона LM:
d(LM) = √[(xM — xL)² + (yM — yL)²] = √[(2 — (-2))² + (1 — 2)²] = √(4² + 1²) = √17
Сторона NK:
d(NK) = √[(xK — xN)² + (yK — yN)²] = √[(1 — 2)² + (-3 — 1)²] = √((-1)² + 4²) = √17
Как видно из вычислений, стороны KL и NK равны между собой, а стороны LM и MN равны нулю. Следовательно, второе условие также выполнено.
Таким образом, мы доказали, что четырехугольник KLMN является прямоугольником.
