Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Доведіть, що чотирикутник KLMN з вершинами в точках К(2; -2), Ь( 1; 2), М(-3; 1), N(-2; -3) є прямокутником
Ответ от учителя
Для того, чтобы доказать, что четырехугольник KLMN является прямоугольником, необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Углы противоположных вершин должны быть прямыми.
2. Длины противоположных сторон должны быть равными.
Для начала найдем длины сторон четырехугольника KLMN:
— Сторона KL:
KL = √[(x2 — x1)² + (y2 — y1)²] = √[(1 — 2)² + (2 + 2)²] = √20
— Сторона LM:
LM = √[(x2 — x1)² + (y2 — y1)²] = √[(-3 — 1)² + (1 — 2)²] = √20
— Сторона MN:
MN = √[(x2 — x1)² + (y2 — y1)²] = √[(-2 + 3)² + (-3 — 1)²] = √20
— Сторона NK:
NK = √[(x2 — x1)² + (y2 — y1)²] = √[(2 + 2)² + (-2 + 3)²] = √20
Таким образом, все стороны четырехугольника KLMN равны между собой и равны √20.
Теперь проверим углы противоположных вершин:
— Угол KLM:
tan(KLM) = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (1 — 2) / (-3 — 1) = 1/4
KLM = arctan(1/4) ≈ 14.04°
— Угол LMN:
tan(LMN) = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (-3 — 1) / (-2 + 3) = -4
LMN = arctan(-4) ≈ -75.96°
— Угол MNK:
tan(MNK) = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (-2 + 3) / (2 + 2) = 1/4
MNK = arctan(1/4) ≈ 14.04°
— Угол KKL:
tan(KKL) = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (-2 + 2) / (2 — 1) = 0
KKL = arctan(0) = 0°
Как видно из вычислений, углы KKL и KLM являются прямыми, а углы LMN и MNK являются тупыми.
Таким образом, все условия для того, чтобы четырехугольник KLMN был прямоугольником, выполнены. Следовательно, можно сделать вывод, что четырехугольник KLMN является прямоугольником.
