Вопрос школьника
Доведіть, що центр вписаного кола рівнобедреного трикутника належить висоті, проведеній до його основи
Ответ от учителя
Для доведення даного твердження розглянемо рівнобедрений трикутник ABC зі стороною AB, яка дорівнює стороні AC. Нехай I — центр вписаного кола, а H — точка перетину висоти, проведеної з вершини C, зі стороною AB.
За властивостями вписаного кола, точка I є центром описаного кола трикутника ACF, де F — точка дотику вписаного кола до сторони AB. Оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то точка F є серединою сторони AB, тобто AF = FB.
Розглянемо трикутник ACH. Оскільки H — точка перетину висоти зі стороною AB, то AH = HB. З іншого боку, оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то AC = AB. Звідси випливає, що трикутник ACH також є рівнобедреним, тобто AH = HC.
Отже, ми маємо дві рівні відрізки: AH = HB та AH = HC. З цього випливає, що точка H лежить на бісектрисі кута A, а отже, належить і висоті, проведеній до сторони AB.
Також, оскільки точка I є центром описаного кола трикутника ACF, то вона лежить на бісектрисі кута CAF. Але кут CAF дорівнює куту CAH, оскільки трикутники ACH та ACF подібні. Таким чином, точка I лежить і на висоті, проведеній до сторони AB.
Отже, ми довели, що центр вписаного кола рівнобедреного трикутника належить висоті, проведеній до його основи.
