Вопрос школьника
Доведіть, що діаметр кола, вписаного в рівнобічну трапецію,
є середнім пропорційним основ трапеції
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определения диаметра вписанного круга и серединного перпендикуляра основы трапеции.
Диаметр вписанного круга — это отрезок, соединяющий две точки касания круга с сторонами трапеции. Он проходит через центр вписанного круга и является наибольшей диагональю вписанного четырехугольника.
Серединный перпендикуляр основы трапеции — это отрезок, соединяющий середины основ трапеции и перпендикулярный им прямой. Он проходит через центр тяжести трапеции и является наименьшей диагональю вписанного четырехугольника.
Теперь докажем, что диаметр вписанного круга является средним пропорциональным основ трапеции.
Пусть a и b — основы трапеции, h — ее высота, d — диаметр вписанного круга.
Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диаметром, радиусом и стороной трапеции, имеем:
d^2 = (h/2)^2 + (b-a)^2/4
Также по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного серединным перпендикуляром, радиусом и половиной разности основ, имеем:
(h/2)^2 + (b-a)^2/4 = (b+a)^2/16 + r^2
где r — радиус вписанного круга.
Выразим r^2 из второго уравнения и подставим в первое:
d^2 = (b+a)^2/16 + (h/2)^2 — (b-a)^2/4
d^2 = (b^2 + 2ab + a^2)/16 + h^2/4 — (b^2 — 2ab + a^2)/4
d^2 = (b^2 + 2ab + a^2)/16 + (b^2 — 2ab + a^2)/4 + h^2/4
d^2 = (3b^2 + 6ab + 3a^2 + 4h^2)/16
d^2 = (b^2 + 2ab + a^2 + 4h^2/3)/4
d^2 = ((a+b)^2 + 4h^2/3)/4
d^2 = ((a+b)^2/4 + h^2/3)
Таким образом, мы получили, что диаметр вписанного круга равен корню из суммы квадратов основ трапеции и четверти высоты, деленной на корень из трех.
Теперь рассмотрим отношение диаметра вписанного круга к срединному перпендикуляру основы трапеции:
d/(b-a) = sqrt((b+a)^2/4 + h^2/3)/h
d/(b-a) = sqrt((b+a)^2/4h^2 + 1/3)
d/(b-a) = sqrt((b^2 + 2ab + a^2)/4h^2 + 1/3)
d/(b-a) = sqrt((b^2 — 2ab + a^2 + 4ab)/4h^2 + 1/3)
d/(b-a) = sqrt(((b-a)^2 + 4ab)/4h^2 + 1/3)
d/(b-a) = sqrt((b-a)^2/4h^2 + ab/h^2 + 1/3)
d/(b-a) = sqrt((b-a)^2/4h^2 + 1/4 + ab/h^2 — 1/4 + 1/3)
d/(b-a) = sqrt((b-a)^2/4h^2 + (ab + h^2/12)/h^2)
d/(b-a) = sqrt((b-a)^2/4h^2 + (b^2 — a^2 + 4h^2/3)/12h^2)
d/(b-a) = sqrt((b^2 — 2ab + a^2 + 4h^2/3)/12h^2 + (b^2 — a^2)/12h^2)
d/(b-a) = sqrt((b^2 + 2ab + a^2)/12h^2)
d/(b-a) = sqrt((b+a)^2/12h^2)
d/(b-a) = (b+a)/(2sqrt(3)h)
Таким образом, мы получили, что отношение диаметра вписанного круга к срединному перпендикуляру основы трапеции равно отношению суммы основ к утроенной высоте, что и является определением среднего пропорционального.
Таким образом, мы доказали, что диаметр вписанного круга является средним пропорциональным основ трапеции.
