Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Доведіть, що коли остача при діленні натурального числа на 25 дорівнює 5, то квадрат цього числа кратний 25
Ответ от учителя
Для доведення даного твердження використаємо властивості ділення на 25 та властивості квадратів натуральних чисел.
Оскільки остача при діленні натурального числа на 25 дорівнює 5, то це число можна записати у вигляді:
n = 25k + 5, де k — натуральне число.
Тоді квадрат цього числа буде:
n^2 = (25k + 5)^2 = 625k^2 + 250k + 25.
За властивістю ділення на 25, щоб квадрат числа був кратним 25, необхідно, щоб його остача при діленні на 25 дорівнювала 0 або 25.
Розглянемо два випадки:
1) Якщо k кратне 5, тобто k = 5m, де m — натуральне число, то:
n^2 = 625k^2 + 250k + 25 = 625 * 25m^2 + 250 * 5m + 25 = 625(25m^2 + 2m + 1).
Отже, n^2 кратне 25.
2) Якщо k не кратне 5, тобто k = 5m + r, де m — натуральне число, а r = 1, 2, 3 або 4, то:
n^2 = 625k^2 + 250k + 25 = 625(25m^2 + 10mr + r^2) + 250(5m + r) + 25 = 625(25m^2 + 10mr + r^2 + 2m) + 25r.
Оскільки r^2 + 10mr + 25m^2 ділиться на 25, то n^2 ділиться на 25.
Отже, в обох випадках квадрат числа n кратний 25, що і треба було довести.
