Вопрос школьника
Доведіть, що в кожному прямокутному трикутнику добуток
катетів дорівнюс добутку його найменшої висоти і гіпотенузи.
Ответ от учителя
Для доведення даного твердження використаємо відомі формули для площі трикутника:
$S = frac{1}{2}absin C$
$S = frac{1}{2}hc$
де $a$ та $b$ — катети, $c$ — гіпотенуза, $h$ — висота, $C$ — кут між катетами.
Звідси можна отримати наступні вирази:
$ab = frac{2S}{sin C}$
$hc = 2S/c$
Підставляючи ці вирази в рівність, яку потрібно довести, отримаємо:
$ab = hc cdot frac{2S}{c} cdot frac{1}{sin C}$
Спрощуючи цей вираз, отримаємо:
$ab = 2S cdot frac{cos C}{sin C}$
Застосовуючи тригонометричну формулу $cos C = frac{c}{sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, отримаємо:
$ab = 2S cdot frac{c}{a^2+b^2+c^2}$
Застосовуючи теорему Піфагора $a^2+b^2=c^2$, отримаємо:
$ab = 2S cdot frac{c}{2c^2}$
Спрощуючи цей вираз, отримаємо:
$ab = frac{S}{c}$
Отже, добуток катетів дорівнює добутку висоти і гіпотенузи:
$ab = hc$.
Таким чином, ми довели, що в кожному прямокутному трикутнику добуток катетів дорівнює добутку його найменшої висоти і гіпотенузи.
