Вопрос школьника
Доведіть, що значення виразу:
1) 10^100 + 8 ділиться націло на 9;
2) 111^n — 6 ділиться націло на 5 при будь-якому натуральному значенні n.
Ответ от учителя
1) Для доведення того, що 10^100 + 8 ділиться націло на 9, можна скористатися тим, що будь-яке число, яке складається з цифр, ділиться націло на 9 тоді і тільки тоді, коли сума цих цифр ділиться націло на 9.
У числі 10^100 + 8 перші 100 цифр — це десятки, які дорівнюють 1, і остання цифра — 8. Тому сума цифр дорівнює 1 * 100 + 8 = 108. Ця сума ділиться націло на 9, тому 10^100 + 8 також ділиться націло на 9.
2) Для доведення того, що 111^n — 6 ділиться націло на 5 при будь-якому натуральному значенні n, можна скористатися тим, що будь-яке число, яке закінчується на 5 або 0, ділиться націло на 5.
У числі 111^n — 6 остання цифра буде залежати від значення n. Але оскільки 111 ділиться націло на 3, то за теоремою Ейлера (або теоремою Ферма) 111^n ділиться націло на 3 при будь-якому натуральному значенні n. Тому 111^n — 6 ділиться націло на 3 — це можна перевірити, розклавши число на множники.
Отже, ми маємо, що 111^n — 6 ділиться націло на 3 і закінчується на 5 або 0, тому воно ділиться націло на 5.
