Вопрос школьника
Доведіть, використовуючи метод від супротивного, що коли жодна з висот трикутника не збігається з бiceктрисою, проведеною з тієї самої вершини, то трикутник не є рівнобедреним
Ответ от учителя
Для доведення даного твердження методом від супротивного, спочатку припустимо, що трикутник ABC є рівнобедреним, тобто має дві рівні сторони AB і AC.
Нехай H1, H2 і H3 — висоти трикутника ABC, проведені від відповідних вершин A, B і C відповідно. Нехай також BD — бісектриса кута BAC, яка перетинає сторону BC в точці D.
Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то AB = AC. З цього випливає, що кути B і C є рівними, тобто мають однакову міру. Також, оскільки BD є бісектрисою кута BAC, то кути ABD і ACD також мають однакову міру.
Розглянемо тепер трикутники ABD і ACD. Оскільки кути ABD і ACD мають однакову міру, а сторона AB = AC, то за теоремою про рівність трикутників ABC і ABD можна стверджувати, що сторона AD також дорівнює AB і AC.
Таким чином, ми отримали, що трикутник ABD є рівнобедреним, оскільки має дві рівні сторони AB і AD. З цього випливає, що висота H2, проведена з вершини B, повинна збігатися з бісектрисою BD, оскільки вони є перпендикулярними до сторони AC і мають спільну точку D.
Але ми припустили, що жодна з висот трикутника не збігається з бісектрисою, проведеною з тієї самої вершини. Отже, наше припущення про те, що трикутник ABC є рівнобедреним, є невірним.
Таким чином, ми довели, використовуючи метод від супротивного, що коли жодна з висот трикутника не збігається з бiceктрисою, проведеною з тієї самої вершини, то трикутник не є рівнобедреним.
