Вопрос школьника
Довжини сторін трикутника, виражені в сантиметрах, дорівнюють трьом послідовним натуральним числам. Знайдіть сторони цього трикутника, якщо одна з його медіан перпендикулярна до однієї з його бісектрис
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі використаємо властивості медіан та бісектрис трикутника.
Нехай a, b та c — довжини сторін трикутника, виражені в сантиметрах, і вони дорівнюють трьом послідовним натуральним числам. Тоді можна записати:
a = x
b = x + 1
c = x + 2
де x — натуральне число.
За властивостями медіан трикутника, медіана, проведена до сторони c, ділить її на дві рівні частини. Тобто, якщо m — медіана, то:
m^2 = (a^2 + b^2)/2 — (c^2)/4
При цьому, якщо медіана перпендикулярна до бісектриси, то вона ділить сторону на дві рівні частини. Тобто, якщо l — бісектриса, то:
c/l = b/(a+b)
З цих двох рівнянь можна скласти систему і розв’язати її відносно x:
c/l = b/(a+b)
m^2 = (a^2 + b^2)/2 — (c^2)/4
Після підстановки виразів для a, b та c отримаємо:
(x + 2)/l = (x + 1)/(2x + 1)
m^2 = (x^2 + (x+1)^2)/2 — ((x+2)^2)/4
Розв’язавши перше рівняння відносно x, отримаємо:
x = (l — 1)/3
Підставляючи це значення в друге рівняння, отримаємо:
m^2 = (2l^2 — 2l — 5)/18
З цього рівняння можна знайти значення медіани m:
m = sqrt((2l^2 — 2l — 5)/18)
Тоді, підставляючи значення x та m в вирази для a, b та c, отримаємо довжини сторін трикутника:
a = (l — 1)/3
b = (l + 2)/3
c = (l + 5)/3
Отже, довжини сторін трикутника, виражені в сантиметрах, дорівнюють:
a = (l — 1)/3
b = (l + 2)/3
c = (l + 5)/3
де l — довжина бісектриси, виражена в сантиметрах.
