Вопрос школьника
Два числа относятся как 4 : 7. Найдите эти числа, зная, что: 1) их сумма равна 110; 2) их сумма равна 3,3; 3) их разность равна 12; 4) их разность равна 0,03; 5) их произведение равно 7; 6) их произведение равно 252.
Ответ от учителя
1) Пусть первое число равно 4x, а второе — 7x. Тогда сумма этих чисел равна 4x + 7x = 11x, а по условию задачи она равна 110. Отсюда получаем, что x = 10. Таким образом, первое число равно 4x = 40, а второе — 7x = 70.
2) Пусть первое число равно 4x, а второе — 7x. Тогда сумма этих чисел равна 4x + 7x = 11x, а по условию задачи она равна 3,3. Отсюда получаем, что x = 0,3. Таким образом, первое число равно 4x = 1,2, а второе — 7x = 2,1.
3) Пусть первое число равно x, а второе — y. Тогда по условию задачи y — x = 12. Мы не знаем, как относятся эти числа друг к другу, поэтому воспользуемся системой уравнений. Пусть отношение y к x равно k. Тогда y = kx. Подставляем это выражение в уравнение y — x = 12 и получаем kx — x = 12, откуда x = 12 / (k — 1). Также из условия задачи следует, что y + x = 110. Подставляем выражение для x и получаем уравнение для нахождения k: kx + x = 110, откуда k = (110 / x) — 1. Подставляем выражение для x в это уравнение и получаем k = (110 / (12 / (k — 1))) — 1. Решаем это уравнение и получаем k = 7. Таким образом, первое число равно x = 24, а второе — y = kx = 168.
4) Пусть первое число равно x, а второе — y. Тогда по условию задачи y — x = 0,03. Мы не знаем, как относятся эти числа друг к другу, поэтому воспользуемся системой уравнений. Пусть отношение y к x равно k. Тогда y = kx. Подставляем это выражение в уравнение y — x = 0,03 и получаем kx — x = 0,03, откуда x = 0,03 / (k — 1). Также из условия задачи следует, что y + x = 3,3. Подставляем выражение для x и получаем уравнение для нахождения k: kx + x = 3,3, откуда k = (3,3 / x) — 1. Подставляем выражение для x в это уравнение и получаем k = (3,3 / (0,03 / (k — 1))) — 1. Решаем это уравнение и получаем k = 1,01. Таким образом, первое число равно x = 0,015, а второе — y = kx = 0,01515.
5) Пусть первое число равно 4x, а второе — 7x. Тогда их произведение равно 28x^2, а по условию задачи оно равно 7. Отсюда получаем, что x^2 = 1/4, а значит, x = 1/2 или x = -1/2. Так как числа должны быть положительными, то x = 1/2. Таким образом, первое число равно 4x = 2, а второе — 7x = 3,5.
6) Пусть первое число равно x, а второе — y. Тогда по условию задачи xy = 252. Мы не знаем, как относятся эти числа друг к другу, поэтому воспользуемся системой уравнений. Пусть отношение y к x равно k. Тогда y = kx. Подставляем это выражение в уравнение xy = 252 и получаем x^2 k = 252, откуда x = sqrt(252 / k). Также из условия задачи следует, что y + x = 110. Подставляем выражение для x и получаем уравнение для нахождения k: kx + x = 110, откуда k = (110 / x) — 1. Подставляем выражение для x в это уравнение и получаем k = (110 / (sqrt(252 / k))) — 1. Решаем это уравнение и получаем k = 2. Таким образом, первое число равно x = sqrt(252 / k) = 9, а второе — y = kx = 18.
