Вопрос школьника
Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок А, второй — Б, третий — А и т.д. Найти вероятность того, что выиграл А до к = 4 броска.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно использовать метод математической индукции.
Пусть P(k) — вероятность того, что игрок А выиграл до k-го броска.
База индукции: P(1) = 1/2, так как игрок А выигрывает, если выпадает герб на первом броске.
Предположение индукции: пусть P(k) — вероятность того, что игрок А выиграл до k-го броска.
Шаг индукции: рассмотрим вероятность того, что игрок А выиграл до (k+2)-го броска. Это может произойти в двух случаях:
1) Игрок А выиграл на (k+1)-м броске. Вероятность этого равна P(k), так как игрок А должен выиграть до k-го броска, а на (k+1)-м броске должен выпасть герб.
2) Игрок А не выиграл на (k+1)-м броске, но выиграл на (k+2)-м броске. Вероятность этого равна (1/2)*(1/2)*P(k), так как на (k+1)-м и (k+2)-м бросках должны выпасть орел и решка соответственно, а игрок А должен выиграть до k-го броска.
Таким образом, вероятность того, что игрок А выиграл до (k+2)-го броска, равна P(k) + (1/4)*P(k) = (5/4)*P(k).
Используя предположение индукции, получаем:
P(2) = (5/4)*P(1) = 5/8
P(3) = (5/4)*P(2) = (5/4)*(5/8) = 25/32
P(4) = (5/4)*P(3) = (5/4)*(25/32) = 125/128
Таким образом, вероятность того, что игрок А выиграл до 4-го броска, равна 125/128.
