Вопрос школьника
Два натуральных числа назовем «зеркальными», если запись одного
числа можно получить, переставив цифры другого числа в обратном порядке
(например, 352 и 253). Одно из двух «зеркальных» трехзначных
чисел на 240% больше другого. Какие это числа?
Ответ от учителя
Пусть первое трехзначное число, которое мы ищем, будет $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры числа. Тогда второе трехзначное число будет $cba$.
Мы знаем, что одно из чисел на 240% больше другого. Это можно записать в виде уравнения:
$$abc = 2.4 cdot cba$$
Разделим обе части уравнения на $cba$:
$$frac{abc}{cba} = 2.4$$
Так как $a$, $b$ и $c$ — цифры, то $cba$ не может быть равно нулю. Значит, мы можем сократить $cba$ с обеих сторон уравнения:
$$frac{ab}{c} = 2.4$$
Так как $a$, $b$ и $c$ — натуральные числа, то $c$ не может быть равно ни 2, ни 5. Если $c=1$, то $frac{ab}{c} = ab$, что не может быть равно 2.4. Если $c=3$, то $frac{ab}{c}$ может быть равно только 8 или 9. Но если $frac{ab}{c} = 8$, то $ab=24$, что также невозможно. Значит, $frac{ab}{c} = 9$, что означает, что $ab$ должно быть равно 27 или 36.
Если $ab=27$, то $abc=279$ и $cba=972$. Проверим, насколько $279$ больше $972$:
$$frac{279}{972} approx 0.287$$
Так как это число меньше 1, то $279$ не может быть на 240% больше $972$. Значит, $ab$ должно быть равно 36.
Тогда $abc=369$ и $cba=963$. Проверим, насколько $369$ больше $963$:
$$frac{369}{963} approx 0.383$$
Это число меньше 1, но если мы переставим цифры в обратном порядке, то получим:
$$frac{963}{369} approx 2.61$$
Это число больше 1, но не на 240%. Значит, $963$ не может быть на 240% меньше $369$.
Таким образом, мы пришли к выводу, что единственными «зеркальными» трехзначными числами, одно из которых на 240% больше другого, являются 369 и 963.
