Вопрос школьника
Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырехугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырехугольника
Ответ от учителя
Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, который разделен на три равные части отрезками $EF$ и $GH$ на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно (см. рисунок).
[asy]
pair A,B,C,D,E,F,G,H;
A=(0,0);
B=(4,0);
C=(3,3);
D=(1,3);
E=(1.5,0);
F=(2.5,0);
G=(2,3);
H=(2,1);
draw(A—B—C—D—cycle);
draw(E—G);
draw(F—H);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,NE);
label(«$D$»,D,NW);
label(«$E$»,E,S);
label(«$F$»,F,S);
label(«$G$»,G,N);
label(«$H$»,H,E);
[/asy]
Требуется доказать, что площадь части $ABCD$, заключенной между отрезками $EF$ и $GH$, равна $frac{1}{3}$ площади всего четырехугольника.
Обозначим через $K$ точку пересечения отрезков $EF$ и $GH$. Так как отрезки $EF$ и $GH$ делят стороны $AB$ и $CD$ на три равные части, то точки $E$, $F$, $K$, $G$ и $H$ делят эти стороны на равные отрезки. Обозначим длину каждого из этих отрезков через $x$.
Так как отрезки $EF$ и $GH$ не пересекаются, то точка $K$ лежит внутри четырехугольника $ABCD$. Рассмотрим треугольники $AKD$ и $BKC$. Они равнобедренные, так как $AE=EB$, $KF=KG$, $HD=DC$ и $KF=KG$. Значит, углы $angle AKD$ и $angle BKC$ равны. Обозначим этот угол через $alpha$.
Таким образом, мы разбили четырехугольник $ABCD$ на два равных треугольника $AKD$ и $BKC$ и два равных сегмента $AHEF$ и $BGHF$ (см. рисунок).
[asy]
pair A,B,C,D,E,F,G,H,K;
A=(0,0);
B=(4,0);
C=(3,3);
D=(1,3);
E=(1.5,0);
F=(2.5,0);
G=(2,3);
H=(2,1);
K=(2,0.75);
draw(A—B—C—D—cycle);
draw(E—G);
draw(F—H);
draw(K—D);
draw(K—C);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,NE);
label(«$D$»,D,NW);
label(«$E$»,E,S);
label(«$F$»,F,S);
label(«$G$»,G,N);
label(«$H$»,H,E);
label(«$K$»,K,NW);
[/asy]
Площадь треугольника $AKD$ равна $frac{1}{2}ADcdot DK$. Так как $AD=BC$ и $DK=frac{2}{3}x$, то площадь треугольника $AKD$ равна $frac{1}{3}ABcdot x$.
Площадь сегмента $AHEF$ можно найти как разность площадей сектора $AHE$ и треугольника $AHE$. Аналогично, площадь сегмента $BGHF$ можно найти как разность площадей сектора $BGH$ и треугольника $BGH$. Оба сектора имеют угол $alpha$ и радиус $x$, поэтому их площади равны $frac{1}{2}x^2alpha$. Треугольники $AHE$ и $BGH$ равнобедренные, поэтому их площади равны $frac{1}{2}xcdot HE$ и $frac{1}{2}xcdot HG$ соответственно. Таким образом, площади сегментов $AHEF$ и $BGHF$ равны $frac{1}{2}x^2alpha-frac{1}{2}xcdot HE$ и $frac{1}{2}x^2alpha-frac{1}{2}xcdot HG$ соответственно.
Площадь части $ABCD$, заключенной между отрезками $EF$ и $GH$, равна сумме площадей треугольников $AKD$ и $BKC$ и сегментов $AHEF$ и $BGHF$:
$$frac{1}{3}ABcdot x+frac{1}{3}CDcdot x+frac{1}{2}x^2alpha-frac{1}{2}xcdot HE+frac{1}{2}x^2alpha-frac{1}{2}xcdot HG.$$
Так как $AB=CD$ и $alpha=angle AKD=angle BKC$, то это выражение можно упростить:
$$frac{2}{3}ABcdot x+x^2alpha-xcdot HE-xcdot HG.$$
Заметим, что $HE+HG=BC=AD$, поэтому $xcdot HE+xcdot HG=xcdot BC$. Таким образом, площадь части $ABCD$, заключенной между отрезками $EF$ и $GH$, равна
$$frac{2}{3}ABcdot x+x^2alpha-xcdot BC.$$
Но $ABCD$ можно разбить на четыре равных треугольника $ABK$, $BCG$, $CDK$ и $DHA$ (см. рисунок). Площадь каждого из этих треугольников равна $frac{1}{4}ABcdot x$, поэтому площадь всего четырехугольника $ABCD$ равна $ABcdot CD=frac{4}{3}ABcdot x$.
[asy]
pair A,B,C,D,E,F,G,H,K;
A=(0,0);
B=(4,0);
C=(3,3);
D=(1,3);
E=(1.5,0);
F=(2.5,0);
G=(2,3);
H=(2,1);
K=(2,0.75);
draw(A—B—C—D—cycle);
draw(E—G);
draw(F—H);
draw(K—D);
draw(K—C);
draw(A—K—B);
draw(B—K—C);
draw(C—K—D);
draw(D—K—A);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,NE);
label(«$D$»,D,NW);
label(«$E$»,E,S);
label(«$F$»,F,S);
label(«$G$»,G,N);
label(«$H$»,H,E);
label(«$K$»,K,NW);
[/asy]
Таким образом, мы получили, что площадь части $ABCD$, заключенной между отрезками $EF$ и $GH$, равна
$$frac{2}{3}ABcdot x+x^2alpha-xcdot BC=frac{2}{3}cdotfrac{3}{4}cdot ABcdot CD+x^2alpha-xcdot CD=frac{1}{3}ABcdot CD.$$
Таким образом, мы доказали, что площадь части $ABCD$, заключенной между отрезками $EF$ и $GH$, равна $frac{1}{3}$ площади всего четырехугольника $ABCD$.
