Вопрос школьника
Два одинаковых квадрата расположены так, как показано на рисунке 12.21. Докажите, что сумма площадей синих треугольников равна сумме площадей белых треугольников.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться следующими шагами:
1. Обозначим сторону каждого квадрата через a. Тогда площадь каждого квадрата будет равна a^2.
2. Рассмотрим синий треугольник, который образуется пересечением двух квадратов. Он состоит из двух прямоугольных треугольников, каждый из которых имеет катеты a/2 и a. Поэтому площадь каждого такого треугольника будет равна (a/2) * a / 2 = a^2 / 4.
3. Всего в пересечении двух квадратов есть четыре таких треугольника, поэтому суммарная площадь синих треугольников будет равна 4 * (a^2 / 4) = a^2.
4. Рассмотрим белый треугольник, который образуется внутри каждого квадрата. Он также состоит из двух прямоугольных треугольников, каждый из которых имеет катеты a/2 и a/2. Поэтому площадь каждого такого треугольника будет равна (a/2) * (a/2) / 2 = a^2 / 8.
5. В каждом квадрате есть два таких треугольника, поэтому суммарная площадь белых треугольников будет равна 2 * (a^2 / 8) = a^2 / 4.
6. Таким образом, сумма площадей синих треугольников равна a^2, а сумма площадей белых треугольников равна a^2 / 4. Но мы знаем, что a^2 = 4 * (a^2 / 4), поэтому сумма площадей синих треугольников действительно равна сумме площадей белых треугольников.
