Вопрос школьника
Два острых угла равны α и β. Докажите, что если α > β, то cos α < cos β, и обратно: если cos α < cos β, то α > β.
Ответ от учителя
Для доказательства первой части утверждения, α > β => cos α < cos β, воспользуемся тригонометрической формулой косинуса: cos α = cos(180° - β) = -cos β Так как α > β, то 180° — β > α, а значит, cos α < cos β. Для доказательства обратной части утверждения, cos α < cos β => α > β, воспользуемся тригонометрической формулой косинуса:
cos α — cos β = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)
Так как cos α < cos β, то cos α - cos β < 0, а значит, sin((α+β)/2)sin((α-β)/2) > 0. Так как углы α и β острые, то (α+β)/2 < 90°, а значит, sin((α+β)/2) > 0. Также, так как α > β, то (α-β)/2 > 0, а значит, sin((α-β)/2) > 0. Таким образом, произведение двух положительных чисел будет положительным, что означает, что α-β > 0, то есть α > β.
Таким образом, мы доказали обе части утверждения.
