Вопрос школьника
Два поезда прошли одинаковый путь за одно и то же время, однако один поезд, имея начальную скорость, равную нулю, прошел весь путь с ускорением 3 см/с2, а другой — половину пути шел со скоростью 18 км/ч, а вторую половину пути со скоростью 54 км/ч. Найдите путь, пройденный поездами.
Ответ от учителя
Пусть общая длина пути, который прошли оба поезда, равна $L$. Тогда время, за которое прошли этот путь оба поезда, равно $t$.
Для первого поезда можно записать уравнение движения:
$$x = frac{1}{2}at^2,$$
где $x$ — пройденный путь, $a$ — ускорение, $t$ — время.
Так как начальная скорость равна нулю, то можно записать:
$$x = frac{1}{2}at^2 = frac{1}{2} cdot 3 cdot t^2 = frac{3}{2}t^2.$$
Для второго поезда можно разделить путь на две части: первую половину длиной $L/2$, которую он прошел со скоростью $v_1 = 18$ км/ч, и вторую половину длиной $L/2$, которую он прошел со скоростью $v_2 = 54$ км/ч.
Для первой половины пути можно записать:
$$x_1 = v_1t_1,$$
где $t_1$ — время, за которое прошел первый поезд первую половину пути.
Для второй половины пути можно записать:
$$x_2 = v_2t_2,$$
где $t_2$ — время, за которое прошел первый поезд вторую половину пути.
Так как общее время прохождения пути для обоих поездов одинаково, то можно записать:
$$t = t_1 + t_2.$$
Также можно записать:
$$t_1 = frac{L}{2v_1}, quad t_2 = frac{L}{2v_2}.$$
Тогда можно записать:
$$x_1 = frac{L}{2} cdot frac{v_1}{60}, quad x_2 = frac{L}{2} cdot frac{v_2}{60}.$$
Сложив эти два уравнения, получим:
$$x_1 + x_2 = frac{L}{2} cdot frac{v_1}{60} + frac{L}{2} cdot frac{v_2}{60} = frac{L}{2} cdot frac{v_1 + v_2}{60}.$$
Таким образом, мы получили три уравнения:
$$x = frac{3}{2}t^2, quad t = t_1 + t_2, quad x_1 + x_2 = frac{L}{2} cdot frac{v_1 + v_2}{60}.$$
Из первого уравнения можно выразить $t$:
$$t = sqrt{frac{2x}{3}}.$$
Подставив это выражение для $t$ во второе уравнение, получим:
$$sqrt{frac{2x}{3}} = frac{L}{2v_1} + frac{L}{2v_2}.$$
Возводя это уравнение в квадрат и приводя подобные слагаемые, получим:
$$frac{4x}{3} = frac{L^2}{4v_1^2} + frac{L^2}{2v_1v_2} + frac{L^2}{4v_2^2}.$$
Выражая из этого уравнения $L$, получим:
$$L = frac{2x}{frac{1}{3} + frac{1}{v_1v_2} left(frac{1}{v_1} + frac{1}{v_2}right)}.$$
Подставляя значения $v_1 = 18$ км/ч и $v_2 = 54$ км/ч, получим:
$$L = frac{2x}{frac{1}{3} + frac{1}{18 cdot 54} left(frac{1}{18} + frac{1}{54}right)} approx 1020.6 text{ м}.$$
Таким образом, путь, пройденный поездами, равен примерно 1020.6 метров.
