Вопрос школьника
Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости (см. рисунок). Найти напряженности H1 и H2 магнитного поля в точках M1 и M2. если токи I1=2 А и I2=3 A Расстояния AM1=AM2=1 см и BM1=CM2=2 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа, который позволяет найти магнитное поле в точке, создаваемое элементом тока. Элемент тока — это кусочек проводника, через который протекает ток.
Для начала найдем магнитное поле в точке M1, создаваемое током I1. Для этого разобьем проводник на маленькие элементы длиной dl и найдем магнитное поле dH, создаваемое каждым элементом в точке M1. Затем проинтегрируем все элементы по всей длине проводника, чтобы получить полное магнитное поле в точке M1.
Магнитное поле dH, создаваемое элементом тока, можно найти по формуле:
dH = (μ0/4π) * (I1 * dl x r1) / r1^3
где μ0 — магнитная постоянная, I1 — ток в проводнике, dl — элемент длиной, r1 — расстояние от элемента до точки M1.
Так как проводник бесконечно длинный, то мы можем считать, что все элементы находятся на одинаковом расстоянии от точки M1, а именно на расстоянии AM1. Также мы можем считать, что элементы расположены на окружности с центром в точке M1 и радиусом AM1.
Тогда магнитное поле dH, создаваемое элементом длиной dl, можно записать в виде:
dH = (μ0/4π) * (I1 * dl sinθ) / AM1^2
где θ — угол между вектором dl и вектором AM1.
Так как проводник прямолинейный, то угол θ для всех элементов будет одинаковым и равен 90 градусам. Поэтому формулу можно упростить:
dH = (μ0/4π) * (I1 * dl) / AM1^2
Теперь проинтегрируем все элементы по всей длине проводника. Так как проводник бесконечно длинный, то интеграл будет браться от минус бесконечности до плюс бесконечности. Однако мы можем ограничиться участком проводника, который находится на расстоянии BM1 от точки M1, так как на больших расстояниях магнитное поле будет стремиться к нулю.
Таким образом, полное магнитное поле в точке M1, создаваемое током I1, можно записать в виде:
H1 = (μ0/4π) * (I1 / AM1^2) * ∫dl от BM1 до BM1
Интеграл от dl можно заменить на интеграл от x, где x — расстояние от точки B до элемента длиной dx. Тогда интеграл примет вид:
∫dl от BM1 до BM1 = ∫dx от 0 до ∞
Так как BM1 = 2 см, то мы можем заменить верхний предел интеграла на 0.02 м. Также мы можем заменить dl на dx, а AM1 на 0.01 м, так как расстояние от точки B до точки M1 равно 0.01 м.
Тогда полное магнитное поле в точке M1, создаваемое током I1, можно записать в виде:
H1 = (μ0/4π) * (I1 / 0.01^2) * ∫dx от 0 до 0.02
Интеграл от x можно легко взять:
∫dx от 0 до 0.02 = 0.02
Подставляя значения, получаем:
H1 = (μ0/4π) * (2 / 0.01^2) * 0.02 = 2.5 мТл
Таким же образом можно найти магнитное поле в точке M2, создаваемое током I2. Расстояние от точки B до точки M2 равно 0.02 м, поэтому мы можем записать:
H2 = (μ0/4π) * (I2 / 0.02^2) * ∫dx от 0 до 0.02
Интеграл от x снова равен 0.02, поэтому:
H2 = (μ0/4π) * (3 / 0.02^2) * 0.02 = 9 мТл
Таким образом, магнитные поля в точках M1 и M2 равны соответственно 2.5 мТл и 9 мТл.
