Вопрос школьника
Два равнобедренных треугольника ABC и ADC имеют общее основание АС. Вершины В и D расположены по разные стороны от АС. Точка Е лежит на отрезке BD, но не лежит на отрезке АС. Докажите, что ∠EAC = ∠ACE.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники ABE и ACE. Они имеют общий угол при вершине A и соответственно равны по двум сторонам: AB = AC (так как треугольники ABC и ADC равнобедренные). Значит, треугольники ABE и ACE равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, третья сторона AE также равна третьей стороне CE.
Теперь рассмотрим треугольники AEC и ADC. Они имеют общую сторону AC и соответственно равны по двум сторонам: AC = AC и CE = ED (по доказанному выше). Значит, треугольники AEC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол EAC равен углу CAD.
Таким образом, мы доказали, что угол EAC равен углу CAD. Но треугольник ADC равнобедренный, значит, угол CAD равен углу ACD. Следовательно, угол EAC равен углу ACD, что и означает, что ∠EAC = ∠ACE.
