Вопрос школьника
Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему косинусов.
Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны перпендикулярны, через a. Тогда его высота равна a/2, а вторая боковая сторона равна √(a² — (a/2)²) = √(3/4 a²) = (√3/2) a.
Пусть A и B — вершины равнобедренных треугольников, лежащие на общем основании. Тогда расстояние между ними равно высоте треугольника AOB, где O — середина AB.
По теореме косинусов в треугольнике AOB:
AB² = AO² + BO² — 2AO*BO*cos(60°)
AB² = (16/2)² + (a/2)² — 2*(16/2)*(a/2)*1/2
AB² = 64 + a²/4 — 16a/4
AB² = 64 + a²/4 — 4a/4
AB² = 64 + a²/4 — a
Аналогично, в треугольнике AOC:
AC² = 64 + (√3/2 a)² — √3a
AC² = 64 + 3/4 a² — √3a
Так как треугольники равнобедренные, то AB = AC, следовательно:
64 + a²/4 — a = 64 + 3/4 a² — √3a
a²/4 + √3a — 3a/4 = 0
a² + 4√3a — 3a² = 0
(a — √3a)(a + 3√3a) = 0
Так как a > 0, то a = √3/3 * b, где b — расстояние между основаниями равнобедренных треугольников.
Тогда AB² = 64 + (1/3)b² — (√3/3)b
AC² = 64 + (3/4)b² — (√3/3)b
AB² — AC² = (1/3)b² — (3/4)b² = -1/12 b²
Так как AB = AC, то расстояние между вершинами равнобедренных треугольников равно:
d = √(AO² — (AB/2)²) = √(AB²/4 + (a/2)²) = √(AB²/4 + (b/6)²)
d = √(64 + (1/3)b² — (√3/3)b)/2 = √(16 + (1/3)b² — (√3/12)b)
d = √(16 + (1/3)b² — (√3/12)b)
Теперь осталось найти значение b. Для этого решим уравнение:
b² — 16² = a²
b² — 256 = (√3/3 b)²
b² — (√3/3)² b² = 256
b²(1 — (√3/3)²) = 256
b = 16/√(1 — (√3/3)²) ≈ 28.8 м
Тогда:
d = √(16 + (1/3)(28.8)² — (√3/12)(28.8)) ≈ 15.7 м
Ответ: расстояние между вершинами равнобедренных треугольников составляет примерно 15.7 м.
